家庭のエネルギー利用スケジュールを最適化する

# はじめに
こんにちは！keisukeです．
今回は，QUBOモデル(特に，二次割当問題)におけるエネルギー関数を詳しく見ていきます．
「アニーリングマシンで問題を解く！」の1個前の段階のお話です．


# TL;DR
- 二次割当問題とは
- 二次割当問題をQUBOモデルに落とし込む
- 二次割当問題のエネルギー関数を展開して，**エネルギー関数の中身**を詳しく見る．


# 二次割当問題(QAP)
二次割当問題，通称QAPでは，複数の工場と，工場と同数の地区が与えられます．
任意の工場間には物流量が，任意の地区間には距離が定義されています．
二次割当問題とは，「各工場間の物流量」と「工場が割り当てられた各地区間の距離」の積の総和が最小となるような，工場の地区への割り当てを求める問題です．

ではここからは，QAPを定式化していきましょう．
$F$ 個の工場の集合を $Fac = \{f_1, f_2, ..., f_F\}$，工場を割り当てるための $F$ 個の地区の集合 $Loc = \{l_1, l_2, ..., l_F\}$ と定義します．
任意の工場間には物流量が与えられており，工場 $f_i, f_j (1 \leq i, j \leq F )$ 間の物流量を $w(f_i, f_j)$ とします．
また，任意の地区間にも距離が与えられており，工場 $f_i$ が割り当てられた地区と工場 $f_j$ が割り当てられた地区間の距離を $d(f_i, f_j)$ とします．
したがって，「各工場間の物流量」と「工場が割り当てられた各地区間の距離」の積の総和 $C$ は，次の式(1)のように表せます．
$$
C = \sum_{i=1}^{F-1} \sum_{j=1, i+1}^F w(f_i, f_j) d(f_i, f_j) \tag1
$$

なお，QAPには以下の2つの制約があります．

1. 工場配置制約：任意の工場はただ一つの地区にのみ必ず配置する
2. 地区内工場制約：任意の地区にはただ一つの工場が割り当てられる

以上がQAPの問題定義および定式化(とその制約)です．


# QUBOモデルに落とし込む
## その前に
QAPをQUBOモデルに落とし込む際，以下のようなバイナリ変数を定義します．
$$
x_{i,k} = \begin{cases}
    1 & (工場 f_i を地区 l_k に配置するとき)\\
    0 & (上記以外) \tag2
\end{cases}
$$

## コスト関数
コスト関数は，「各工場間の物流量」と「工場が配置された各地区間の距離」の積の総和です．
エネルギー関数は次のように書けます．
$$
\mathrm{H}_A = \sum_{i=1}^F \sum_{j=1}^F \sum_{k=1}^F \sum_{l=1}^F w(f_i, f_j) d(l_k, l_l) x_{i, k} x_{j, l} \tag3
$$
$\mathrm{H_A}$ の最小値は $h_a$ をとります．
$h_a$ は問題に依存します．


## 制約項1：工場配置制約
これは，$i$ 番目の工場 $f_i$ はただ一つの地区にのみ配置するという制約です．
本制約をある時刻 $i$ 番目の工場 $f_i$ について定式化すると，次の式のようになります．
$$
\sum_{k=1}^F x_{i,k} = 1~(1\leq i\leq F) \tag4
$$

全ての工場 $f_i$ が上の式(4)を満たすときに，最小値をとるようなエネルギー関数 $\mathrm{H_B}$ を導入すると，エネルギー関数は次のように書けます．
$$
\mathrm{H}_B = \sum_{i=1}^F \Biggl( \sum_{k=1}^F x_{i, k} - 1 \Biggr)^2 \tag5
$$
$\mathrm{H_B}$ の最小値は 0 をとります．


## 制約項2：地区内工場制約
これは，$k$ 番目の地区 $l_k$ にはただ一つの工場が配置されているという制約です．
本制約を $k$ 番目の地区 $l_k$ について定式化すると，次の式のようになります．
$$
\sum_{i=1}^F x_{i,k} = 1~(1 \leq k \leq F) \tag6
$$


全ての地区 $l_k$ が上の式(6)を満たすときに，最小値をとるようなエネルギー関数 $\mathrm{H_C}$ を導入すると，エネルギー関数は次のように書けます．
$$
\mathrm{H}_C = \sum_{k=1}^F \Biggl( \sum_{i=1}^F x_{i, k} - 1 \Biggr)^2 \tag7
$$
$\mathrm{H_C}$ の最小値は 0 をとります．


## 最終的なエネルギー関数
以上より，最終的なエネルギー関数は，正のハイパーパラメータα を用いて次のように表せます．
$$
\mathrm{H} = \mathrm{H}_A + \alpha (\mathrm{H}_B + \mathrm{H}_C) \tag8
$$
エネルギー関数 $\mathrm{H}$ は最小値 $h_a$ を取り，このとき基底解となります．
基底解が得られたときのスピンが最適解となります．
なお，エネルギー関数 $\mathrm{H}$ には定数項が出現しますが，本質的にはあってもなくても変わらないので，今回は定数項は無視します．


# エネルギー関数を展開する
再掲ですが，QAPのエネルギー関数は以下の3つから構成されています．
$
\begin{aligned}
\mathrm{H}_A &= \sum_{i=1}^F \sum_{j=1}^F \sum_{k=1}^F \sum_{l=1}^F w(f_i, f_j) d(l_k, l_l) x_{i, k} x_{j, l}\\
\mathrm{H}_B &= \sum_{i=1}^F \Biggl( \sum_{k=1}^F x_{i, k} - 1 \Biggr)^2\\
\mathrm{H}_C& = \sum_{k=1}^F \Biggl( \sum_{i=1}^F x_{i, k} - 1 \Biggr)^2
\end{aligned}
$

これらのエネルギー関数を何かしらのプログラミング言語で実装しようとしたとき，どうやって書けば良いか困ってしまうことはありませんか？
$\mathrm{H}_A$ は```for```ループを4つ使って愚直に書けば良さそうですが，$\mathrm{H}_B, \mathrm{H}_C$ はシグマの中にシグマの2乗が含まれています．これは難しそうだ…

**でも大丈夫！！！**
ここから下を読めば，一発で分かります．
ということで早速，$\mathrm{H}_B, \mathrm{H}_C$ を展開していきましょう．

## $\mathrm{H}_B$ の展開
$\mathrm{H}_B$ を展開します．
$
\begin{aligned}
\mathrm{H}_B &= \sum_{i=1}^F \Biggl( \sum_{k=1}^F x_{i, k} - 1 \Biggr)^2 \\
&= \sum_{i=1}^F \Biggl(2\sum_{k=1}^{F-1} \sum_{l=k+1}^{F} x_{i, k} x_{i, l} - \sum_{k=1}^{F} x_{i, k} + 1 \Biggr) \\
&= 2 \sum_{i=1}^F \sum_{k=1}^{F-1} \sum_{l=k+1}^{F} x_{i, k} x_{i, l} - \sum_{i=1}^{F} \sum_{k=1}^{F}x_{i, k} + F
\end{aligned}
$

なぜ1行目から2行目になるのか？
これは簡単な例で試してみると，そうなることが分かります．
ここでは，工場数 $F=4$ の場合で考えてみましょう．
(以下，2乗の部分だけを計算するので，$\mathrm{H}_B$ の一番外側のシグマ $\sum_{i=1}^{F}$ は除外します)
$
\begin{aligned}
\Biggl( \sum_{k=1}^{F=4} x_k - 1 \Biggr)^2
&= \biggl( (x_1 + x_2 + x_3 + x_4) - 1 \biggr)^2 \\
&= x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 \\
&~~~~~~~~~+2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_1x_4 \\
&~~~~~~~~~+2x_2x_3 + x_2x_4 + 2x_3x_4 \\
&~~~~~~~~~-2x_1 - 2x_2 - 2x_3 - 2x_4 + 1\\
&~~~~~(…
変数x_kはバイナリ変数なので x_k^2 = x_k となるから) \\
&= 2(x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4) \\
&~~~~~~~-x_1 - x_2 - x_3 - x_4 + 1 \\
&= 2\sum_{k=1}^{4-1} \sum_{l=k+1}^{4} x_k x_l - \sum_{k=1}^{4} x_k + 1 \\
&= 2\sum_{k=1}^{F-1} \sum_{l=k+1}^{F} x_k x_l - \sum_{k=1}^{F} x_k + 1
\end{aligned}
$
ほら！これで展開ができました．
お前ホンマかいな…という人は，神ツールである
[Wolfram alpha](https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x_1+%2B+x_2+%2B+x_3+%2B+x_4+-+1%29%5E2&lang=ja)で計算させた結果もご覧になってください．

… というわけで，エネルギー関数に2乗が含まれている場合も，今回の展開で最終的に得られた式をプログラムに落とし込めば，うまく行きそうですね！(というかうまく行きます笑)

$\mathrm{H}_C$ の展開も，扱う文字が違うだけで内容はほぼ全く同じなので，ぜひ練習として $\mathrm{H}_C$ を展開してみてください．


# おわりに
今回は，QUBOモデルで頻繁に出てくる2乗式を詳しく見ました．
このように，実際に手を動かすことが大事となってくるので，皆さんもQUBOと格闘する時はどんどん手を動かしていきましょう！

QUBOモデルを数式からしっかり理解しよう

# はじめに
こんにちは！
普段，アニーリングマシン(厳密にはイジングマシンですが)を使って数理最適化を研究しているkeisukeと申します！
今回は初投稿となるのですが，自分が研究の過程で「これは美しい…！」と感嘆したものについて投稿したいと思います！


# TL;DR
- 巡回セールスマン問題とは？
- 巡回セールスマン問題をQUBOモデルに落とし込む
- QUBO行列はどういうものなのか，実際に覗いてみる
- QUBO行列は美しい！


# 巡回セールスマン問題(TSP)とは
巡回セールスマン問題，通称TSPとは，複数の都市が与えられており，全ての都市を一度だけ訪問して出発地点に戻ってくるような巡回路の中で，総移動距離が最小となるような都市の訪問順序を求める問題です．
TSPは組合せ最適化問題としては一番有名な問題なので，ご存知の方も多いのではないでしょうか．

ここからは，TSPを定式化していきます．
$N$ 個の都市の集合を $C'=\{c_1, c_2,...,c_N\}$ とします．
任意の都市 $c_i, c_j (1 \leq i,j \leq N)$ 間には距離が定義されており，その距離を $d(c_i,c_j)$ とします．また，$i$ 番目の都市 $c_i$，$j$ 番目の都市 $c_j$ に関するバイナリ変数を $x_{i,j}$ を以下のように定義します．
$$
x_{i,j} = \begin{cases}
    1 & (c_iの次にc_jを訪問するとき) \\
    0 & (上記以外) \tag1
\end{cases}
$$
以上より，全ての都市を一度だけ訪問して出発地点に戻って くるような巡回路の総距離 $C$ は，次の式のように表せます．
$$
C = \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^N d(c_i, c_j) x_{i, j} \tag2
$$

なお，TSPには以下の2つの制約があります．
1. 同時訪問制約：一度に訪れることのできる都市はただ一つのみ
2. 訪問回数制約：任意の都市にはただ一度しか訪問しない

以上がTSPの問題定義および定式化(とその制約)です．


# QUBOモデルに落とし込む
## その前に
今回は，QUBOがどういったモデルなのかは割愛させていただきます．
多分，僕がここで書くよりググった方が遥かに分かりやすいから…泣

TSPをQUBOモデルにマッピングする際，以下のようなバイナリ変数を定義します．
$$
x_{i,j} = \begin{cases}
    1 & (時刻 t に都市 c_i を訪問する)\\
    0 & (上記以外) \tag3
\end{cases}
$$

## コスト関数
コスト関数は，ある地点から出発して全ての都市を一度だけ訪問し，元の出発地点に戻ってくるような巡回路の総移動距離です．
エネルギー関数は次のように書けます．
$$
\mathrm{H}_A = \sum_{t=1}^N \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N d(c_i, c_j) x_{t, i} x_{t+1, j} \tag4
$$
$\mathrm{H_A}$ の最小値は $h_a$ をとります．
$h_a$ は問題に依存します．


## 制約項1：同時訪問制約
これは，時刻 $t$ に訪問する都市はただ一つのみであるという制約です．
本制約をある時刻 $t$ について定式化すると，次の式のようになります．
$$
\sum_{i=1}^N x_{t,i} = 1~(1\leq t\leq N) \tag5
$$

全ての時刻 $t$ が上の式を満たすときに，最小値をとるようなエネルギー関数 $\mathrm{H_B}$ を導入すると，エネルギー関数は次のように書けます．
$$
\mathrm{H}_B = \sum_{t=1}^N ( \sum_{i=1}^N x_{t, i} - 1)^2 \tag6
$$
$\mathrm{H_B}$ の最小値は 0 をとります．


## 制約項2：訪問回数制約
これは，$i$ 番目の都市 $c_i$ はただ一度しか訪問しないという制約です．
本制約を $i$ 番目の都市 $c_i$ について定式化すると，次の式のようになります．
$$
\sum_{t=1}^N x_{t,i} = 1~(1 \leq i \leq N) \tag7
$$

全ての都市 $c_i$ が上の式を満たすときに，最小値をとるようなエネルギー関数 $\mathrm{H_C}$ を導入すると，エネルギー関数は次のように書けます．
$$
\mathrm{H}_C = \sum_{i=1}^N ( \sum_{t=1}^N x_{t, i} - 1)^2 \tag8
$$
$\mathrm{H_C}$ の最小値は 0 をとります．


## 最終的なエネルギー関数
以上より，最終的なエネルギー関数は，正のハイパーパラメータα を用いて次のように表せます．
$$
\mathrm{H} = \mathrm{H}_A + \alpha (\mathrm{H}_B + \mathrm{H}_C) \tag9
$$
エネルギー関数 $\mathrm{H}$ は最小値 $h_a$ を取り，このとき基底解となります．
基底解が得られたときのスピンが最適解となります．
なお，エネルギー関数 $\mathrm{H}$ には定数項が出現しますが，本質的にはあってもなくても変わりません．


# QUBO行列の中身を見ていく
さて，最終的なエネルギー関数 $\mathrm{H}$ をQUBO行列として取得します．
QUBO行列の中身はどのようになっているのか見ていきましょう．
今回は，都市数 $N=5$，全都市間の距離 $d(c_i, c_j)=3$，ハイパーパラメータ $\alpha=1$ の場合でやってみます．

```
import numpy as np
import plotly.express as px

class TSP:
    def __init__(self):
        self.NUM_CITY = 5 # 都市数
        self.NUM_SPIN = self.NUM_CITY * self.NUM_CITY # QUBO行列に必要なスピン数
        self.distance_matrix = np.array([[0,3,3,3,3],[3,0,3,3,3],[3,3,0,3,3],[3,3,3,0,3],[3,3,3,3,0]]) # 都市間の距離行列
        self.ALPHA = 1 # ハイパーパラメータ α

        # 各スピンに番号を割り振る
        self.spin_index = np.arange(self.NUM_CITY * self.NUM_CITY).reshape(self.NUM_CITY, self.NUM_CITY)

        # コスト関数用のQUBO行列
        self.cost_weight = np.zeros((self.NUM_SPIN, self.NUM_SPIN))
        self.cost_bias = np.zeros((self.NUM_SPIN))
        self.cost_const = np.zeros((1))

        # 制約項のQUBO行列
        self.penalty_weight = np.zeros((self.NUM_SPIN, self.NUM_SPIN))
        self.penalty_bias = np.zeros((self.NUM_SPIN))
        self.penalty_const = np.zeros((1))

    # QUBO行列を作る
    def make_qubo_matrix(self):
        # ========== ここから式(4) ==========
        for t in range(self.NUM_CITY):
            for u in range(self.NUM_CITY):
                for v in range(self.NUM_CITY):
                    if t < self.NUM_CITY-1:
                        idx_i = self.spin_index[t, u]
                        idx_j = self.spin_index[t+1, v]
                    elif t == self.NUM_CITY-1:
                        idx_i = self.spin_index[t, u]
                        idx_j = self.spin_index[0, v]
                    coef  = self.distance_matrix[u, v]
                    if coef == 0:
                        continue
                    self.cost_weight[idx_i, idx_j] += coef
                    self.cost_weight[idx_j, idx_i] = self.cost_weight[idx_i, idx_j]

        # ========== ここから式(6) ==========
        # 二次の項
        for t in range(self.NUM_CITY):
            for u in range(self.NUM_CITY-1):
                for v in range(u+1, self.NUM_CITY):
                    idx_i = self.spin_index[t, u]
                    idx_j = self.spin_index[t, v]
                    coef = 2
                    self.penalty_weight[idx_i, idx_j] += self.ALPHA * coef
                    self.penalty_weight[idx_j, idx_i] = self.penalty_weight[idx_i, idx_j]

        # 一次の項
        for t in range(self.NUM_CITY):
            for u in range(self.NUM_CITY):
                idx = self.spin_index[t, u]
                coef = -1
                self.penalty_bias[idx] += self.ALPHA * coef

        # 定数項
        self.penalty_const[0] += self.ALPHA * self.NUM_CITY

        # ========== ここから式(8) ==========
        # 二次の項
        for u in range(self.NUM_CITY):
            for t in range(self.NUM_CITY-1):
                for tt in range(t+1, self.NUM_CITY):
                    idx_i = self.spin_index[t, u]
                    idx_j = self.spin_index[tt, u]
                    coef = 2
                    self.penalty_weight[idx_i, idx_j] += self.ALPHA * coef
                    self.penalty_weight[idx_j, idx_i] = self.penalty_weight[idx_i, idx_j]

        # 一次の項
        for u in range(self.NUM_CITY):
            for t in range(self.NUM_CITY):
                idx = self.spin_index[t, u]
                coef = -1
                self.penalty_bias[idx] += self.ALPHA * coef

        # 定数項
        self.penalty_const[0] += self.ALPHA * self.NUM_CITY

        # 式(9)のHのQUBO行列を作る
        qubo_matrix = np.zeros((self.NUM_SPIN, self.NUM_SPIN))
        qubo_matrix = self.cost_weight + self.penalty_weight
        for i in range(self.NUM_SPIN):
            qubo_matrix[i, i] = self.cost_bias[i] + self.penalty_bias[i]
        fig = px.imshow(qubo_matrix)
        fig.show()
```

上記のコードを実行すると，下記のような結果が得られます．
(ちなみにplotlyというpythonライブラリ，ものすごく便利なのでぜひご活用ください！)
各セル(マス？)は各スピン間の相互作用に対応しています．
今回は都市数が5ということで，QUBOモデルに必要なスピン数は $5 \times 5=25$ となります．
ですので，QUBO行列は $25 \times 25$ の行列となるわけです．
なお，下図では色と各値が対応しており，その関係は以下のようになっています．
- 紺色：-2
- 紫色：0
- 黄色：2
- オレンジ色：3

![](https://firebasestorage.googleapis.com/v0/b/ancar-8c06d.appspot.com/o/articles%2FU10-0061-7526-97%2F17edf766f022ff?alt=media&token=090f003c-eabf-4de1-aa01-c10887d820e0)

QUBO行列は対称行列となっていることが分かりますね．
これは当然といえば当然です．
なぜなら，スピン $i$ から見たスピン $j$ との間の相互作用と，スピン $j$ から見たスピン $i$ との間の相互作用は同じになるからです(逆に違ったらおかしいですよね)．
それにしてもQUBO，う，美しい…！！！


# おわりに
いかがでしたでしょうか？
QUBOは対称行列となっており，それを可視化すると美しいものになるということについて投稿させていただきました．
皆さんも，TSPに限らずいろんなQUBOモデルを可視化してみて，その美しさを味わってみてください！

QUBO行列の中身を見てみよう

巡回セールスマン問題(TSP)とは

# 概要
こんにちは、空と申します。

1年ほど前から某個別指導塾でアルバイトをしているのですが、働いていてずっと不思議に思っていたことがありました。

なんと、各コマの各生徒→講師の割り当て(以下**配置**)を手動で行っていたのです！

講師の能力、生徒の特性など様々な考慮すべき条件はあるものの、手動で配置を組むのはとても大変なので、QUBOを用いて定式化することで自動化できないかと考えました。

本記事では、この定式化と、Amplifyでの実装について記述します。

# 配置効率について
私の塾では、1人の講師に対して生徒を2人まで配置することができます。また、なるべくこの講師1生徒2の配置(以下1:2配置)を増やすように命じられています。理由としては以下の2点が挙げられます。
1. 講師1生徒1(以下1:1配置)の配置を多くしすぎると出勤講師数が多くなりより人件費がかかる。
e.g.) 生徒4人出席するとする
全て1:2配置→出勤講師数2人
全て1:1配置→出勤講師数**4人**
2. 1:1配置での授業を希望する生徒の存在。
中には、「1:1配置での授業をしてほしい」 という希望を持つ生徒もいます。このような生徒の希望に対しては、月謝を高くする形で応えています。通常生徒の1:1配置を増やしすぎてしまうと、高い月謝を払っている1:1配置希望生徒に対して不公平になってしまいます。

上記の理由から、1:2配置と1:1配置の比率がどのようになっているのかを考慮する必要があります。これを評価する数値指標として**配置効率**を定義します。配置効率は以下のような式で表されます。
$$
配置効率=\frac{実際の講師数}{必要講師数} \times {100}
$$
今回は簡単のため、1:1配置希望生徒は考慮しないこととします。そのため、必要講師数は生徒数の半分です。全て1:2配置だと配置効率は100%となり、これが最も良い値です。逆に全て1:1配置だと200%となり、これが最も悪い値となります。今回はこの配置効率を目的関数として**最小化**することを目指します。

# 制約条件
上記の配置効率に加え、今回は以下の3つの制約を組み込みます。

- 生徒制約
- 講師制約
- 生徒講師共通制約

生徒制約は、「生徒1人に対して講師はちょうど1人」という個別指導塾として当たり前の制約です。講師制約は、「1人の講師に配置できる生徒数は0人以上$F$人以下」という制約です。生徒講師共通制約は、例えば数学しか教えることのできない先生が国語の授業を担当してはならないという制約で、これも当たり前の制約です。

# QUBO変数の設定
QUBO変数を$q_{i,j}$とします。$i$が講師、$j$が生徒を表します。スピン数は$N_{\mathrm{T}}$を講師数、$N_{\mathrm{S}}$を生徒数としたとき、$N_{\mathrm{T}} \times \left(N_{\mathrm{S}}+F+1\right)$となります。QUBO変数の設定は以下です。
- $q_{i,j}=1$ $\Rightarrow$ 講師 $i$ が生徒 $j$ の授業を担当する。
- $q_{i,j}=0$ $\Rightarrow$ 講師 $i$ が生徒 $j$ の授業を担当しない。

# QUBOでの定式化
## 事前に与えるデータ
- 講師データ

講師データは講師数$\times$教科数の行列で、各講師がそれぞれどの科目の授業の担当が可能かを表しています。例えば、以下のような行列を考えます。

| 講師\教科 | 英語 | 数学 | 国語 |
| --- | --- | --- | --- |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 2 | 0 | 1 | 0 |
| 3 | 0 | 0 | 1 |

例えば講師2の行を見ると、英語と数学の列が1となっているので、この講師2は英語と数学の授業が可能である講師だとわかります。
- 生徒データ

生徒データは生徒数$\times$教科数の行列で、各生徒が何の授業を受けるのかを表しています。例えば、以下のような行列を考えます。

| 生徒\教科 | 英語 | 数学 | 国語 |
| --- | --- | --- | --- |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 2 | 0 | 0 | 1 |
| 3 | 1 | 0 | 0 |

例えば生徒2の行を見ると、数学の列が1となっているので、この生徒2は数学の授業を受ける生徒だとわかります。

## 制約
制約条件の項で述べた3つの制約を以下の通り定式化します。

- 生徒制約
$$
H_\mathrm{A}=
\sum_{j=0}^{N_{\mathrm{S}}-1}{\left(\sum_{i=0}^{N_{\mathrm{T}}-1}{q_{i,j}-1}\right)^{2}}
$$
- 講師制約
$$
H_\mathrm{B} =
\sum_{i=0}^{N_{\mathrm{S}}-1}
{\left(\sum_{j=0}^{N_\mathrm{T}-1}{q_{i,j}}-\sum_{k=0}^{F-1}{y_{i,k}}\right)^{2}} \\
y_{i,k}:補助変数\\
$$
実装の際はamplifyの`less_equal`を利用しました。
- 生徒講師共通制約
$$
H_\mathrm{C}=\sum_{\left(i,j\right) \in X}{q_{i,j}}\\
X:授業を担当できない(講師,生徒)のペアのリスト
$$

生徒講師共通制約のリスト$X$は、講師データと生徒データの転置の行列積を計算し、結果が0であった行と列のペアを格納することで構成します。

## 目的関数
目的関数を配置効率としたかったのですが、配置効率の定義式をそのままamplifyに落とすのは難しく、実現できませんでした。そこで、代替案として**各行のスピン和の分散**を考えました。例を示しておきます。スピン行列が以下のようであったとします。

| 講師\生徒 | 0| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | SUM |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 2 |
| 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 2 |

この行列のSUMの列の平均を計算します。$i$行のスピン和を$Sum_i$とすると、平均$\mu$は以下のようになります。
$$
\mu = \frac{1}{N_{\mathrm{T}}}\sum_{i=0}^{N_{\mathrm{T}}-1}{Sum_i}
=\frac{1}{N_{\mathrm{T}}}\sum_{i=0}^{N_{\mathrm{T}}-1}{\sum_{j=0}^{N_{\mathrm{S}}-1}{q_{i,j}}}
$$
上記の例であれば$\mu=1.6$となります。この$\mu$を用いてSUM列のデータの分散を以下のように計算します。分散は
$$
s^2=\overline{x^2}-\left({\overline x}\right)^2
$$
で計算できるので、この式を用いると分散$H_\mathrm{F}$は、
$$
H_\mathrm{F}
=\frac{1}{N_{\mathrm{T}}}
\sum_{i=0}^{N_{\mathrm{T}}-1}
{\left(\sum_{j=0}^{N_{\mathrm{S}}-1}{q_{i,j}}\right)^2}-\mu^2
$$
となります。上記の例であれば$H_\mathrm{F}=2.8-2.56=0.24$となります。$H_\mathrm{F}$はSUM列のデータに0と2が多いほど大きくなり、1が多いほど小さくなるので、1:2配置が多くなればなるほど値が大きくなります。したがって、$H_\mathrm{F}$を**最大化**する解が最適解であるということができます。今回はこれを目的関数としました。

## エネルギー関数
- 目的関数(最大化問題$\rightarrow$負にして最小化問題に)
$$
f=-H_\mathrm{F}
$$
- 制約
$$
g=H_\mathrm{A}+H_\mathrm{B}+H_\mathrm{C}
$$

エネルギー関数は以下の通りです。今回は特にハイパーパラメータの設定は行いませんでした。
$$
H=f+g
$$

# 実装
上記の定式化を、以下のようにPythonで実装しました。
```Python
import amplify
from amplify import BinaryPoly, SymbolGenerator, sum_poly
from amplify.constraint import equal_to, less_equal

gen = SymbolGenerator(BinaryPoly)
L = gen.array(num_teacher, num_student) # QUBO変数

# 制約
H_A = sum([equal_to(sum_poly(num_teacher, lambda i: L[i, j]), 1) for j in range(num_student)]) # 生徒制約
H_B = sum([less_equal(sum_poly(num_student, lambda j: L[i, j]), 2) for i in range(num_teacher)]) # 講師制約
H_C = sum([equal_to(sum_poly(len(not_list), lambda i: L[not_list[i][0], not_list[i][1]]), 0)]) # 教務可能科目を超える授業不可

# 目的関数
inv_num_teacher = 1 / num_teacher
mu = inv_num_teacher * (sum_poly(num_teacher, lambda i: (sum_poly(num_student, lambda j: L[i, j])))) # 各行の和の平均
H_F = inv_num_teacher * (sum_poly(num_teacher, lambda i: (sum_poly(num_student, lambda j: L[i, j]) ** 2))) - mu ** 2 # 各行の和の分散

#エネルギー関数
f = -H_F
g = H_A + H_B + H_C
H = f + g
```

# おわりに
読んでいただきありがとうございました！
今回作ったものは教室業務の基本部分にしか目を向けていないので、1:1配置を希望する生徒を1:1配置するような制約や登録済みの配置の反映なども入れられたらいいと思います。githubに全体のコードを載せたのでもし興味があればご覧ください！
https://github.com/sora-tt/placement_optimizing_of_cram_school

個別指導塾の生徒配置をQUBOで自動化する

# はじめに
初めましてtyと申します。「学校のクラス分け」って聞くと、どきどきした甘酸っぱい幼少？青春？時代を思い出す人もいるのではないでしょうか。

そのクラス分けを行うのは教員なわけですが、実は相当難しいことを行っているのです。

例えば100人を3クラスに分けるとき、その組合せの総数はなんと$10^{26}$もあります。それを毎年行なっている教員ってすごい！

日々大変な教員方の負担を少しでも削減したいと思い、私たちはクラス分けを自動化するアプリケーションを製作しました。本記事ではその定式化およびAmplifyでの実装に絞って紹介します！ 

※ある程度イジングマシンや量子アニーリングをわかっている方向けの記事となっております。もしQUBOやイジングモデルと聞いてピンと来ない方は一度他のサイトや書籍で学ばれることをお勧めいたしますm(_ _)m

# クラス分けに考慮される事項
クラス分けで満足させたい事項は色々あると思います。例えば、、
- 男女比を一緒にしたい
- クラス間の学力を同じにしたい
- クラス間の居住地域の偏りを少なくしたい
- 仲の悪い生徒は別のクラスにしたい
- 運動能力の差をなくしたい
- 学力の差をなくしたい
- 特別な支援を要する生徒を振り分けたい
- ピアノを弾ける生徒を振り分けたい
- 相性の悪い親は別のクラスにしたい

ちなみに最後のは実際にあるそうm(_ _)m

# QUBO変数の設定
上記の事項をQUBOに落とし込む分けですが、QUBO変数は {0, 1} のどちらかを取る変数です。2つの状態しか表せないためクラス数が3以上の場合を考慮し工夫する必要があります。

今回は生徒一人につきクラス数分のQUBO変数を用意します。このQUBO変数を$n_{i,a}$と表記するものとします。$i$ は生徒、$a$ はクラスを表します。

- $n_{i,a}=1$ のとき生徒 $i$ がクラス $a$ に属する
- $n_{i,a}=0$ のとき生徒 $i$ がクラス $a$ に属さない

とすることでクラス数が3以上の場合も対応できます。

# QUBOの定式化
今回は以下の6つの制約を導入することにします。
  - クラス重複禁止制約
  - クラス人数均等化制約
  - 男女均等化制約
  - 学力均等化制約
  - 地域分散化制約
  - 不仲最小化制約

クラス重複禁止制約は一人が複数のクラスに属したり、どこのクラスにも属さなかったりするのを避けるための制約です。

早速ですがこれらを定式化すると以下のようになります。
$s$は生徒数、$c$はクラス数です。
![](https://firebasestorage.googleapis.com/v0/b/ancar-8c06d.appspot.com/o/articles%2FU10-2915-2635-60%2F17ec956542b6d?alt=media&token=dd1081c0-8b3d-4336-bcbb-fbcbc444bcf8)

なお右側の定式化に使用する値は予め元データから抽出・整形しておきます。

# Amplifyにおけるコーディング
上記の定式化を実装します．使用言語はPythonです。

Amplifyライブラリを使用します。Amplifyライブラリの使い方は公式サイトにありますのでそちらをご覧ください。

```python
from amplify import BinaryPoly, gen_symbols, sum_poly, pair_sum

q = gen_symbols(BinaryPoly, class_num, student_num)

HA = sum([equal_to(sum_poly([q[i][j] for i in range(class_num)]), 1) for j in range(student_num)])
HB = sum_poly(class_num, lambda i: (sum_poly(student_num, lambda j: q[i][j]) - student_num_average) ** 2)
HC = sum_poly(class_num, lambda i: (sum_poly(student_num, lambda j: sex[j] * q[i][j]) ** 2))
HD = sum_poly(class_num, lambda i: (sum_poly(student_num, lambda j: grades[j] * q[i][j]) - grades_average) ** 2)
HE = sum_poly(class_num, lambda i: (pair_sum(student_num, lambda j, k: area[j][k] * q[i][j] * q[i][k])))
HF = sum_poly(class_num, lambda i: (pair_sum(student_num, lambda j, k: dislike[j][k] * q[i][j] * q[i][k])))

# ハイパーパラメータ
aA, aB, aC, aD, aE, AF = 20, 1, 1, 10, 5, 20
# H = エネルギー関数
H = aB*HB + aC*HC + aD*HD + aE*HE + aF*HF   
H = H + aA*HA

# ※amplifyの仕様上 H=HA+HB+HC+HD+HE+HF はできない模様．HAはBinaryConstraintsクラスで，HB~HFはBinaryPolyクラス．
```

こんな感じでかけました。シグマが入り乱れた制約を一行で書けるのすごいです！

なお各制約のハイパーパラメータは試行錯誤して仮決めしました。この値によってどの制約を重視するか調節できます。

# おわりに
簡単にですが定式化とAmplifyを用いた実装を紹介しました。イジングマシンや量子アニーリングの実社会への応用が進むといいですね！


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